Diskrete und algebraische Strukturen - kurz gefasst (German by Ulrich Knauer, Kolja Knauer

By Ulrich Knauer, Kolja Knauer

Dieses Lehr- und Studienbuch präsentiert die Themen, die üblicherweise in der Standardvorlesung über diskrete Strukturen behandelt werden. Die Darstellung wendet sich an Studierende der Informatik und der Mathematik (Lehramt und Bachelor/Master) und ist als Vorlesungsbegleitung, zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung konzipiert.

Zahlreiche Aufgaben erleichtern die Vertiefung des Lernstoffs. Durch die kompakte Darlegung aller wichtigen diskreten und algebraischen Strukturen und das umfangreiche Stichwortverzeichnis eignet sich das Buch zudem als Nachschlagewerk für Mathematiker, Informatiker und Naturwissenschaftler.

Inhalte: Von der Aussagen- und Prädikatenlogik über Mengen und Kombinatorik, Zahlen, Relationen und Abbildungen, Graphen bis hin zu dem reichhaltigen Spektrum algebraischer Strukturen und einem kurzen Einblick in die Kategorientheorie.

Die 2. Auflage ist vollständig durchgesehen und enthält neben  zusätzlichen Kapiteln zu Ringen und Moduln sowie zu Matroiden nun erstmals auch typische Klausuraufgaben.

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Wenn für je zwei Elemente x und y aus U auch xy 1 in U liegt, dann ist U eine Untergruppe von G. 8 x; y 2 U / W xy 1 2 U U ist eine Untergruppe von G und können nun die logische Struktur des Satzes angeben durch die Aussageform A ^ B ^ C ) D. U; G/: In dieser Form lässt er sich gut beweisen. U; G/ anhand der Definitionen der Begriffe Gruppe und Untergruppe formal logisch formulieren, wird der Ausdruck unübersichtlich. Suche nach Sätzen Vermutungen werden oft aus Experimenten oder aus mathematischer Intuition heraus gewonnen.

2 (Charakterisierung von Eigenschaften) Finde für jede der folgenden Aussagen Bedingungen an die Mengen A und B, sodass die betreffende Aussage wahr ist. A D B/ und diese soll dann bewiesen werden. 3 (Monotonie) Welche der folgenden Aussagen sind für beliebige Teilmengen A; B; C einer vorgegebenen Menge M wahr? – Beweis bzw. Gegenbeispiel. (a) (b) (c) AÂB ADB AÂB , , ) BÂA ADB A[C ÂB [C (d) (e) (f) AÂB AÂB AÂB ) ) ) A\C Â B \C AnC Â B nC A C Â B C: Hinweis: Für (c) ist mit (a), (b) und de Morgan ein eleganter Beweis möglich.

Wir beschreiben eine Menge, indem wir angeben, welche Elemente sie enthält und welche nicht. Dabei ist es sinnvoll, sich vorzustellen, dass die betrachteten Elemente aus einer Universalmenge stammen. Diese entspricht dem Individuenbereich in der Prädikatenlogik. Wir schreiben a 2 M , wenn a Element der Menge M ist und a 62 M , wenn a nicht Element der Menge M ist. 1 Mengen 31 ✤✜ q 4 A✬ ✩ q 5 q 1 C ✬ ✣ ✢ ✩ q 2 q 7 ✬ ✩ q 3 q 8 12 q ✫ ✪ q 24 ✫ ✪ B D ✫ ✪ Abb. 1 Venn-Diagramme der Mengen A WD f 1; 2; 3 g, B WD f 2; 3; 7; 12 g, C WD f 4; 5 g, D WD f 12; 24; 8 g Eine Menge kann im Wesentlichen auf zweierlei Weise angegeben werden: zum einen durch Aufzählen ihrer Elemente zwischen geschweiften Klammern, z.

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