Angewandte Tensorrechnung: Für Ingenieure, Physiker und by Horst Lippmann

By Horst Lippmann

Dieses Lehrbuch ist als Einführung zu verstehen, und zwar für Ingenieure, Physiker oder angewandte Mathematiker. Es beruht auf einer Vorlesung für Studenten höherer Semester und setzt Vorkenntnisse entsprechend den üblichen Lehrveranstaltungen in Mathematik und Mechanik voraus. Es werden Anwendungen der Tensorrechnung auf Probleme der Mechanik, der Elektrodynamik und anderer Bereiche behandelt. Den einzelnen Kapiteln sind Übungsaufgaben angefügt, die teilweise aufeinander aufbauen. Ihre Lösungen werden gesondert zusammengefaßt.

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Jq ... Bih+l ... 3 Rechenregeln und Ergänzungen 47 Für h = 0 sei A, für h = m sei B und für m = 0 sei Tein Skalar. 3/1) für jeden Tensor B (m - h)-ter Stufe A ein Tensor h-ter Stufe, so stelIt T einen Tensor m-ter Stufe dar und umgekehrt: 1st Tein Tensor m-ter Stufe, so ergibt sich A als Tensor h-ter Stufe. 3/1 folgt aus der Tensoreigenschaft des direkten Produktes. Zum Beweis des ersten Teils zeigen wir zunächst, daS T eindeutig ist. Gäbe es nämIich einen zweiten Tensor T mit der gleichen Eigenschaft wie T, zum Beispiel hinsichtlich G1.

2/3) automatisch auch auf andere lsomeren. Unter Indizes sind, wenn nichts anderes gesagt wird, nur die laufenden Koordinatenindizes zu verstehen. Sofern mehrere Tensoren beteiligt sind, werden ihre Koordinaten immer in bezug auf dieselbe Basis verknüpft. Hierbei bedeutet die eventuelle "Gleichartigkeit" zweier ko-, kontra- oder gemischtvarianter Tensorkoordinaten, daB sie die gleiche Anzahl von freien (nicht als Summationsindizes gebundenen) Indizes besitzen, die jeweils durch dieselben Symbole an gleicher oberer oder unterer Position ("gleichständig") dargestellt werden.

1 e~'::jnUh n. UJn 36 2 Skalare und Vektoren im Euklidischen Raum zu jedem kovarianten (untenstehenden) Index wie jn eine kontravariante Koorn. dinate u Jn und umgekehrt gehört. Hier wollen wir jedoch nur die ko- und kontravarianten vertikalen. Isomeren in Gl. 5/1) weiterbetrachten und wählen zunächst die Vektoren ~ als reine Vertauschung oder auch Wiederholung der Basisvektoren gj dergestalt, daB für k . bestimmte feste Indexwerte il' ... , in gerade u = glk gesetzt wird. i k stellt hier einenkeinzigen, mittels k durchnumerierten Index dar.

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